Древний Египет
краткое изложение истории появления и развития понятия «аликвотные дроби»
Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе. Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Исторически дроби возникли в процессе измерения. Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей. В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи. Но все же, в каждом уголке мира дроби появлялись по-разному. Давайте узнаем, как они развивались в древнем Египте:
Виды обыкновенных дробей сегодня включают в себя и так называемые египетские или аликвотные. Они представляют собой сумму нескольких слагаемых вида 1/n. Числитель — всегда единица, а знаменатель — натуральное число. Появились такие дроби, как ни трудно догадаться, в древнем Египте. При расчетах все доли старались записывать в виде таких сумм (например, 1/2 + 1/4 + 1/8). Отдельными обозначениями обладали только дроби 2/3 и 3/4, остальные разбивались на слагаемые. Существовали специальные таблицы, в которых доли числа представлялись в виде суммы. Наиболее древнее из известных упоминаний такой системы встречается в Математическом папирусе Ринда, датируемом началом второго тысячелетия до нашей эры. Он включает таблицу дробей и математические задачи с решениями и ответами, представленными в виде сумм дробей. Египтяне умели складывать, делить и умножать доли числа. Дроби в долине Нила записывались с помощью иероглифов. Представление доли числа в виде суммы слагаемых вида 1/n, характерное для древнего Египта, использовалось математиками не только этой страны. Вплоть до Средних веков Eегипетские дроби применялись на территории Греции и других государств. Эти дроби записывались с помощью иероглифов:
Сейчас это можно записать как: 1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20
Виды обыкновенных дробей сегодня включают в себя и так называемые египетские или аликвотные. Они представляют собой сумму нескольких слагаемых вида 1/n. Числитель — всегда единица, а знаменатель — натуральное число. Появились такие дроби, как ни трудно догадаться, в древнем Египте. При расчетах все доли старались записывать в виде таких сумм (например, 1/2 + 1/4 + 1/8). Отдельными обозначениями обладали только дроби 2/3 и 3/4, остальные разбивались на слагаемые. Существовали специальные таблицы, в которых доли числа представлялись в виде суммы. Наиболее древнее из известных упоминаний такой системы встречается в Математическом папирусе Ринда, датируемом началом второго тысячелетия до нашей эры. Он включает таблицу дробей и математические задачи с решениями и ответами, представленными в виде сумм дробей. Египтяне умели складывать, делить и умножать доли числа. Дроби в долине Нила записывались с помощью иероглифов. Представление доли числа в виде суммы слагаемых вида 1/n, характерное для древнего Египта, использовалось математиками не только этой страны. Вплоть до Средних веков Eегипетские дроби применялись на территории Греции и других государств. Эти дроби записывались с помощью иероглифов:
Сейчас это можно записать как: 1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20
разложение обыкновенных дробей
Древний Вавилон
научные гипотезы о возникновении шестидесятеричной системы счисления
научные гипотезы о возникновении шестидесятеричной системы счисления
Шестидесятеричная система — это система счисления, в которой каждая единица делится на 60 единиц низшего порядка, то есть это ее система счисления по основанию 60. В настоящее время она применяется для измерения времени и амплитуды углов. Происхождение шестидесятеричной системы неясно. По одной гипотезе (И. Н. Веселовский), она связана с применением счёта на пальцах. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Гипотеза Веселовского кажется более правдоподобной т.к. шестидесятеричная система есть результат наложения двух более древних систем — двенадцатеричной и пятеричной. Археологические находки показали, что обе эти системы действительно реально использовались, а шумерские названия чисел 6, 7 и 9 обнаруживают следы пятеричного счёта, видимо, наиболее древнего.
гипотезы о причинах возникновения шестидесятеричной системы счисления
Однако именно в Древнем Междуречье возникла шестидесятеричная система счисления. Загадка её возникновения неоднократно привлекала умы математиков в течение последних двух тысяч лет. Создано несколько гипотез, каждая из которых освещала одну из сторон проблемы. Поэтому каждая из этих гипотез получила свою порцию критики, но это не значит, что они были неверными и не имели жемчужного зерна.
1. Гипотеза Теона Александрийского (конец 4 и начало 5 века н.э.)
Теон полагал, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел.
2. Гипотеза Тюро-Данжена (1932)
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считал, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
3. Гипотеза Нейгебауера (1927)
Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.
4. Гипотеза Веселовского И.Н. (1959)
Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)
5. Гипотеза Кевича (1904)
Кевич предпологает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестиричную систему.
Из гипотез математиков становится ясно, что 60-теричная система возникла на основе ранее существовавшей другой системы счисления. Приведённые выше гипотезы не объясняют, откуда возник позиционный принцип вавилонской нумерации.
6. Гипотеза Кантора
Есть ещё одна гипотеза для обоснования выбора числа 60 в качестве основания новой системы счисления. Это гипотеза Кантора о его "астрономическом" происхождении. "Происхождение числа 60 в качестве основания вавилонской системы счисления, а также чисел 12, 30 и 360 как узловых чисел всех календарных систем, систем измерения времени и угловых величин можно объяснить с позиций астрологических и астрономических знаний и основанных на них представлений о гармонии Вселенной. В Вавилоне и Египте с давних времен при составлении календарей большое значение придавали самой крупной из планет-гигантов - Юпитеру, который примерно за 12 лет делает полный оборот вокруг Солнца. Не меньшую роль играл также Сатурн, который совершает полный оборот вокруг Солнца примерно за 30 лет. Приняв 60 лет в качестве главного цикла Солнечной системы, составителям древних календарей удалось идеально согласовать циклы Юпитера (5x12=60) и Сатурна (2x30=60)". Учитывая время появления шестидесятеричной системы счисления- 32 век до н.э., данная гипотеза должна предполагать наличие у шумер выдающихся знаний астрономии, совершенной календарной системы, письменной передачи знаний, так как наблюдение 60-летних циклов выходило за пределы одной человеческой жизни. Кантор впоследствии отказался от своей гипотезы и принял гипотезу Г.Кевича.
1. Гипотеза Теона Александрийского (конец 4 и начало 5 века н.э.)
Теон полагал, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел.
2. Гипотеза Тюро-Данжена (1932)
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считал, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
3. Гипотеза Нейгебауера (1927)
Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.
4. Гипотеза Веселовского И.Н. (1959)
Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)
5. Гипотеза Кевича (1904)
Кевич предпологает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестиричную систему.
Из гипотез математиков становится ясно, что 60-теричная система возникла на основе ранее существовавшей другой системы счисления. Приведённые выше гипотезы не объясняют, откуда возник позиционный принцип вавилонской нумерации.
6. Гипотеза Кантора
Есть ещё одна гипотеза для обоснования выбора числа 60 в качестве основания новой системы счисления. Это гипотеза Кантора о его "астрономическом" происхождении. "Происхождение числа 60 в качестве основания вавилонской системы счисления, а также чисел 12, 30 и 360 как узловых чисел всех календарных систем, систем измерения времени и угловых величин можно объяснить с позиций астрологических и астрономических знаний и основанных на них представлений о гармонии Вселенной. В Вавилоне и Египте с давних времен при составлении календарей большое значение придавали самой крупной из планет-гигантов - Юпитеру, который примерно за 12 лет делает полный оборот вокруг Солнца. Не меньшую роль играл также Сатурн, который совершает полный оборот вокруг Солнца примерно за 30 лет. Приняв 60 лет в качестве главного цикла Солнечной системы, составителям древних календарей удалось идеально согласовать циклы Юпитера (5x12=60) и Сатурна (2x30=60)". Учитывая время появления шестидесятеричной системы счисления- 32 век до н.э., данная гипотеза должна предполагать наличие у шумер выдающихся знаний астрономии, совершенной календарной системы, письменной передачи знаний, так как наблюдение 60-летних циклов выходило за пределы одной человеческой жизни. Кантор впоследствии отказался от своей гипотезы и принял гипотезу Г.Кевича.
авторская обоснованная оценка
наиболее правдоподобной гипотезы
наиболее правдоподобной гипотезы
Ознакомившись со всеми гипотезами, мы сошлись во мнении, что, возможно, самой правдоподобной является гипотеза Нейгебауера, т.к. во все времена товарно-денежные отношения приводят к появлению денег, которые будут делиться на более мелкие части, что привело к появлению дробей и новой системы счисления, удобной в то время для расчетов.
назначение клинописных вавилонских таблиц
Вавилонские математики широко пользовались шестидесятеричной позиционной(!) системой счёта. На её основе и были составлены различные вычислительные таблицы. Кроме таблиц умножения и таблиц обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали таблицы квадратных корней и кубических чисел.
Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать некоторые специальные задачи, включавшие до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени. Квадратные уравнения вначале служили, в основном, сугубо практическим целям – измерению площадей и объёмов, что отразилось на терминологии. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», а другое – «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью». Как и сейчас! В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина – «глубина», а произведение трёх неизвестных именовалось «объёмом». В дальнейшем, с развитием алгебраического мышления, неизвестные стали пониматься более абстрактно.
Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения различных несложных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Неясно, правда, решал ли ученик их в уме или делал предварительные вычисления прутиком на земле – на табличках записаны только условия математических задач и их решение.
Вавилонские математики решали также планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до Пифагора.
Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах, и решение задачи по вычислению площади круга также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным 3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных целей.
Клинописные таблички - основной источник вавилонской астрономии - представляют собой набор древних астрономических записей, которые, как полагают, являются предшественниками современного Зодиака. Во время их представления они совпадали с созвездиями с одинаковыми именами. Таблички были созданы в Вавилоне около 687 г. до н. э. и содержали около 200 астрономических наблюдений, включая измерения, относящиеся к нескольким созвездиям. Тем не менее, многие археологи считают, что они являются лишь транскрипцией гораздо более ранних записей астрономических наблюдений, сделанных ассирийскими астрономами, которые наблюдали за небом около 2300 г. до нашей эры.
Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать некоторые специальные задачи, включавшие до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени. Квадратные уравнения вначале служили, в основном, сугубо практическим целям – измерению площадей и объёмов, что отразилось на терминологии. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», а другое – «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью». Как и сейчас! В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина – «глубина», а произведение трёх неизвестных именовалось «объёмом». В дальнейшем, с развитием алгебраического мышления, неизвестные стали пониматься более абстрактно.
Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения различных несложных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Неясно, правда, решал ли ученик их в уме или делал предварительные вычисления прутиком на земле – на табличках записаны только условия математических задач и их решение.
Вавилонские математики решали также планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до Пифагора.
Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах, и решение задачи по вычислению площади круга также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным 3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных целей.
Клинописные таблички - основной источник вавилонской астрономии - представляют собой набор древних астрономических записей, которые, как полагают, являются предшественниками современного Зодиака. Во время их представления они совпадали с созвездиями с одинаковыми именами. Таблички были созданы в Вавилоне около 687 г. до н. э. и содержали около 200 астрономических наблюдений, включая измерения, относящиеся к нескольким созвездиям. Тем не менее, многие археологи считают, что они являются лишь транскрипцией гораздо более ранних записей астрономических наблюдений, сделанных ассирийскими астрономами, которые наблюдали за небом около 2300 г. до нашей эры.
Древний Рим
происхождение римской системы дробей
происхождение римской системы дробей
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1\12 римляне говорили «одна унция», 5\12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.
А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего применялось 18 различных названий дробей. Например, в ходу были такие названия:
“скрупулус” - 1/288 асса,
”семис”- половина асса,
“секстанс”- шестая его доля,
“семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д.
Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Унция обозначалась чертой - ,половина асса (6 унций) – буквой S (первой в латинском слове Semis-половина). Эти два знака служили для записи любой двенадцатеричной дроби, каждая из которых имела свое название. Например, 7\12 записывались так: S-.
А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего применялось 18 различных названий дробей. Например, в ходу были такие названия:
“скрупулус” - 1/288 асса,
”семис”- половина асса,
“секстанс”- шестая его доля,
“семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д.
Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Унция обозначалась чертой - ,половина асса (6 унций) – буквой S (первой в латинском слове Semis-половина). Эти два знака служили для записи любой двенадцатеричной дроби, каждая из которых имела свое название. Например, 7\12 записывались так: S-.
примеры из современной устной речи,
связанные с римской системой дробей
связанные с римской системой дробей
Можно привести примеры в устной речи, связанных с римской системой дробей: сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д.
где пользуются в системе мер и в денежной системе остатками римской системы дробей
Римская унция являлась одной из основных единиц массы средневековой Европы. На сегодняшний день применяется при торговле драгоценными металлами — тройская унция, а также в странах, где масса выражается в фунтах (например, США).
Драхма – денежная единица Греции, ходившая до введения евро.
Драхма — американская единица измерения массы, равная 1,77184519905875 грамму. (В древнем Риме драхма =1/8 унции = 3,411 г)
Драхма — британская аптечная единица измерения массы, равная 3 скрупулам или 3,88793463853114 граммам. На сегодняшний день такая единица уже не используется.
Драхма – денежная единица Греции, ходившая до введения евро.
Драхма — американская единица измерения массы, равная 1,77184519905875 грамму. (В древнем Риме драхма =1/8 унции = 3,411 г)
Драхма — британская аптечная единица измерения массы, равная 3 скрупулам или 3,88793463853114 граммам. На сегодняшний день такая единица уже не используется.
какая система дробей Древнего мира являлась наиболее развитой
Мы считаем, что вавилонская система дробей была наиболее развитой по сравнению с египетской или римской. Римская система дробей основывалась на делении на 12 частей, что было неудобно. И в древнем Риме воин стоял выше. Чем самый талантливый математик, поэтому наука не так хорошо развивалась и продвигалась вперед. В древнем Египте преимущество отдавалось аликвотным дробям, что было не всегда удобно. В Древнем Вавилоне могли записать любую дробь и выполнять все действия над дробями, что показывает достаточно высокий и продвинутый уровень математики того времени.
